In questo articolo andremo a parlare del metodo di Cross per la risoluzione di strutture iperstatiche in pochi minuti.

Il metodo, molto impiegato per calcoli veloci a mano, venne inventato da Hardy Cross per la risoluzione di strutture iperstatiche.

Ma che cosa sono le strutture iperstatiche?

Le strutture iperstatiche sono delle strutture che hanno più gradi di vincolo rispetto ai gradi di libertà.

Il metodo di Cross per la risoluzione di strutture iperstatiche discende dal metodo delle deformazioni e ne rappresenta, in termini pratici, una versione evoluta.

L’applicazione principale è la risoluzione di telai in cemento armato e acciaio, nei quali i pilastri e le travi vengono schematizzate come aste, mentre il punto di intersezione tra pilastri e travi viene chiamato nodo.

Il concetto di base, su cui si basa il metodo, è che le sollecitazioni agenti su un nodo vengono ripartite in proporzione alle rigidezze delle aste che convergono su tale nodo.

Andiamo a spiegare meglio questo metodo attraverso un esercizio.

Trovare il diagramma del momento della seguente struttura composta da un solo materiale e sezione costante.

metodo di Cross per la risoluzione di strutture iperstatiche

Abbiamo 3 gradi di vincolo forniti dall’incastro nel nodo A, 2 gradi di vincolo forniti dalla cerniera nel nodo B, 2 gradi di vincoli forniti dalla cerniera nel nodo C, per un totale di 7 gradi di vincolo (acronimo G.D.V.).

Essendo un’unica asta i gradi di libertà sono 3.

Di conseguenza 7 – 3 = 4 la struttura è iperstatica.

Per prima cosa si blocca il nodo intermedio B con un morsetto evidenziando i momenti di reazione nei nodi A e B ricavati da uno schema notevole incastro-incastro con carico distribuito su di esso.

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Successivamente si sblocca il nodo B ripartendo il momento trovato in precedenza M = (qL2) /12 in base alle rigidezze delle aste AB e BC convergenti sul nodo.

L’asta AB essendo un incastro appoggio assume una rigidezza pari a 4 EJ/L.

L’asta BC essendo un appoggio appoggio assume una rigidezza pari 3 EJ/L.

Di conseguenza otteniamo

metodo di Cross per la risoluzione di strutture iperstatiche a

Di conseguenza, possiamo ricavarci immediatamente il diagramma del momento, in quanto essendo il materiale elastico lineare possiamo eseguire la sovrapposizione degli effetti. Infatti, nell’intorno sinistro di B si ha la differenza M meno 4/7 M pari a 3/7 M, mentre nell’ intorno destro di B rimane 3/7 M verificando l’equilibrio al nodo.

metodo di Cross per la risoluzione di strutture iperstatiche b

Nella campata AB un metodo veloce per calcolare il momento positivo in mezzeria è fare la media dei due momenti all’estremità, per poi sottrarre a tale valore il momento massimo positivo di una trave appoggio-appoggio caricata uniformemente ovvero (ql2)/8. Per cui ricaviamo:

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